Cálculo Diferencial e Integral

Embora a existência de derivadas parciais não garanta diferencibilidade, a existência de derivadas parciais contínuas num aberto, que se costuma abreviar dizendo que a função é de classe \(C^1\) nesse aberto, já é um garante de diferenciabilidade.

Generalizamos o teorema do valor médio (de Lagrange) a funções diferenciáveis de mais de uma variável real. Para funções escalares não existem dificuldades de maior quanto a obter um resultado formalmente similar à custa do teorema de derivação da função composta e do teorema do valor médio para funções reais de variável real. Para funções vectoriais o caso é diferente, concentrando-nos em obter uma desigualdade que permite estimar a norma da diferença de valores da função em dois pontos à custa de um majorante da norma da derivada em pontos "intermédios" e da distância entre os dois pontos.

O teorema de Weierstrass é o primeiro exemplo de teorema de continuidade global (outros serão o teorema do valor intermédio e o teorema de Heine Cantor, todos tendo em comum que lidam com continuidade de funções em conjuntos com certas propriedades topológicas ao contrário de outros resultados que vimos até ao momento que lidam com continuidade "ponto a ponto") que analisamos no contexto das funções de mais de uma variável real.

O teorema de Weierstrass garante que uma função contínua transforma conjuntos limitados e fechados em conjuntos limitados e fechados. Isto tem consequências importantes em particular em problemas de optimização, estudo da existência de pontos de máximo e mínimo.

Introduzem-se as sucessões em \(\mathbb{R}^n\) e a respectiva noção de limite. Mostra-se que o estudo da convergência se reduz ao estudo da convergência das sucessões coordenadas.

Vamos ilustrar os conceitos revistos sobre \(\mathbb{R}^n\) para dar exemplos de alguns conjuntos particularmente importantes e caracterizá-los geometricamente.

\(\mathbb{R}^n\) com a sua estrutura de espaço vectorial real e espaço com um produto interno já deve ser familiar do estudo de Álgebra Linear. Revemos os conceitos mais importantes e os resultados fundamentais tendo em vista a análise de alguns exemplos dos seus subconjuntos e de funções de subconjuntos de \(\mathbb{R}^n\) com valores em \(\mathbb{R}^m\).

Uma lista de tópicos relativos a integração que é imprescindível conhecer e uma lista de problemas seleccionados.